Première spécialité · Mathématiques · Chapitre 5

Fonctions dérivées

Fiche de cours3 min de lecturePar Robin RinguetMise à jour : octobre 2026

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1Fonction dérivée

Définition. Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ lorsqu’elle est dérivable en chaque réel $a$ de $I$ . La fonction qui, à tout $x$ de $I$ , associe le nombre dérivé $f'(x)$ s’appelle la fonction dérivée de $f$ sur $I$ ; on la note $f'$ .

Notation. Ne pas confondre $f'(a)$ , qui est un nombre (le nombre dérivé en $a$ ), et $f'$ , qui est une fonction. En physique, la dérivée d’une fonction du temps se note aussi $\dot{x}(t)$ .

2Dérivées des fonctions de référence

$f(x)$	$k$ (constante)	$x$	$x^n$ ( $n\geq1$ entier)	$\dfrac1x$	$\dfrac1{x^n}=x^{-n}$ ( $n\geq1$ )	$\sqrt{x}$
$f'(x)$	$0$	$1$	$nx^{n-1}$	$-\dfrac1{x^2}$	$-\dfrac{n}{x^{n+1}}=-nx^{-n-1}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
dérivable sur	$\R$	$\R$	$\R$	$\intoo{-\infty}{0}$ et $\intoo{0}{+\infty}$	$\intoo{-\infty}{0}$ et $\intoo{0}{+\infty}$	$\intoo{0}{+\infty}$

Remarque. La fonction racine carrée est définie sur $\intfo{0}{+\infty}$ mais dérivable seulement sur $\intoo{0}{+\infty}$ : elle n’est pas dérivable en $0$ . La formule $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$ vaut pour tout entier relatif $n$ non nul, sur tout intervalle où $x^n$ est défini.

3Opérations sur les fonctions dérivées

Théorème. Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un réel.

Formulaire

$(u+v)'=u'+v'$ ; $(ku)'=k\,u'$ ; $(uv)'=u'v+uv'$ .
Si $v$ ne s’annule pas sur $I$ : $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^{2}}$ et $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ .

Remarque. Démonstrations exigibles : pour $f(x)=x^2$ , le taux de variation vaut $\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=2a+h\to 2a$ ; pour $f(x)=\frac1x$ , il vaut $\frac{-1}{a(a+h)}\to-\frac{1}{a^2}$ ; pour un produit, on écrit $u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)$ en faisant apparaître $u(a+h)v(a)$ .

4Fonction valeur absolue

Définition. Pour tout réel $x$ : $\abs{x}=x$ si $x\geq 0$ et $\abs{x}=-x$ si $x<0$ . Le nombre $\abs{x}$ est la distance de $x$ à $0$ , et $\abs{x-a}$ la distance entre $x$ et $a$ .

Propriété. La courbe de la fonction valeur absolue est formée de deux demi-droites de sommet l’origine. Cette fonction est dérivable sur $\intoo{-\infty}{0}$ , où sa dérivée vaut $-1$ , et sur $\intoo{0}{+\infty}$ , où sa dérivée vaut $1$ .

Propriété. La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en $0$ : le taux de variation $\dfrac{\abs h}{h}$ vaut $1$ pour $h>0$ et $-1$ pour $h<0$ ; il ne tend vers aucun nombre. La courbe présente un point anguleux en $0$ .

Figure 1 — La courbe de $x\mapsto\abs{x}$ : deux demi-droites et un point anguleux en $0$ .

5Utiliser la fonction dérivée

Méthode — calculer un nombre dérivé. Déterminer d’abord la fonction dérivée $f'$ , puis remplacer $x$ par $a$ : c’est bien plus rapide que la limite du taux de variation.

Méthode — équation de tangente. Au point d’abscisse $a$ : $\ y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . Tangente horizontale en $a$ : cela équivaut à $f'(a)=0$ , donc on résout cette équation.

6Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Donner l’ensemble de dérivabilité d’une fonction et sa dérivée parmi les fonctions de référence.
Dériver un polynôme, une somme, un produit par un réel.
Dériver un produit, un inverse, un quotient, puis réduire l’expression obtenue au même dénominateur.
Dériver une expression contenant $\sqrt{x}$ en précisant l’intervalle d’étude.
Calculer un nombre dérivé et une équation de tangente à partir de $f'$ ; trouver les points où la tangente est horizontale.
Connaître la fonction valeur absolue, sa courbe et sa non-dérivabilité en $0$ .

7Exemples types

Exemplepolynôme et racine carrée

Pour $f(x)=4x^3-5x^2+2x-7$ sur $\R$ : $f'(x)=12x^2-10x+2$ . Pour $g(x)=5\sqrt{x}-3x$ sur $\intoo{0}{+\infty}$ : $g'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{x}}-3$ .

Exempledérivée d’un produit

Soit $f(x)=(2x+1)(x^2-3)$ . Avec $u=2x+1$ , $u'=2$ , $v=x^2-3$ , $v'=2x$ :

f'(x)=2\left(x^2-3\right)+(2x+1)\times 2x=2x^2-6+4x^2+2x=6x^2+2x-6 .

Vérification en développant d’abord : $f(x)=2x^3+x^2-6x-3$ , dont la dérivée est bien $6x^2+2x-6$ .

Exempledérivée d’un quotient

Soit $h(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$ sur $\intoo{-2}{+\infty}$ . Avec $u=3x-1$ , $u'=3$ , $v=x+2$ , $v'=1$ :

h'(x)=\frac{3(x+2)-(3x-1)\times 1}{(x+2)^2}=\frac{7}{(x+2)^2}>0 .

Exempletangente horizontale

Soit $f(x)=x^3-12x+3$ . Alors $f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$ , qui s’annule en $-2$ et en $2$ : la courbe admet une tangente horizontale aux points $A(-2\,;19)$ et $B(2\,;-13)$ .

Pièges

$(uv)'\neq u'v'$ et $\left(\frac uv\right)'\neq\frac{u'}{v'}$ : il faut appliquer les formules du produit et du quotient.
Dans $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ , l’ordre des termes du numérateur compte : un signe inversé change tout.
Toujours préciser l’intervalle : $\frac1x$ et $\sqrt{x}$ ne sont pas dérivables partout, et $\sqrt{x}$ ne l’est pas en $0$ .
$\left(x^2+1\right)'=2x$ : la dérivée d’une constante est nulle, mais elle ne « disparaît » pas dans un produit ou un quotient.
En Première, on ne sait pas dériver une fonction composée : $\sqrt{2x+1}$ ou $(3x-1)^5$ se dérivent seulement après développement, ou pas du tout.

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Exercices, contrôles et sujets

Les énoncés sont en accès libre, à télécharger en PDF.

Exercices de base

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Les bases : dérivées de référence, opérations, nombre dérivé, tangente, valeur absolue

8 exercicesniveau Difficulté 1 sur 3durée conseillée : 1 h 30sans calculatrice

Les dérivées de référenceDifficulté 1 sur 3
Sommes et produits par un réelDifficulté 1 sur 3
Dérivée d’un produitDifficulté 1 sur 3
Inverses et quotientsDifficulté 1 sur 3
Démonstration : dérivée des fonctions carré et cubeDifficulté 2 sur 3
Équations de tangentesDifficulté 2 sur 3
Où la tangente est-elle horizontale ?Difficulté 2 sur 3
La fonction valeur absolueDifficulté 2 sur 3

Exercices d'application

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Application : retrouver une fonction, vitesse instantanée, coût marginal, tangentes imposées, Python, un toboggan

6 exercicesniveau Difficulté 2 sur 3durée conseillée : 2 hcalculatrice autorisée (exercice 5)

Retrouver une fonction à partir de sa courbeDifficulté 2 sur 3
Le vol d’une fusée à eauDifficulté 2 sur 3
Coût marginal dans un atelierDifficulté 2 sur 3
Tangentes parallèles à une droite donnéeDifficulté 2 sur 3
Contrôler une dérivée avec Python ou un logiciel de calcul formelDifficulté 2 sur 3
Le profil d’un tobogganDifficulté 2 sur 3

Contrôle A

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QCM, calculs de dérivées, tangentes à une courbe, distance de freinage

Durée : 1 hsans calculatrice4 exercices indépendantsbarème sur 20

Questionnaire à choix multiples5 ptsDifficulté 1 sur 3
Calculs de dérivées5 ptsDifficulté 1 sur 3
Tangentes à une courbe5 ptsDifficulté 2 sur 3
Distance de freinage5 ptsDifficulté 2 sur 3

Contrôle B

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Dérivée de la fonction inverse, vrai ou faux, retrouver une fonction rationnelle, tangentes issues d’un point

Durée : 1 hsans calculatrice4 exercices indépendantsbarème sur 20

Démonstration : dérivée de la fonction inverse4 ptsDifficulté 2 sur 3
Vrai ou faux ?5 ptsDifficulté 2 sur 3
Retrouver une fonction rationnelle5 ptsDifficulté 2 sur 3
Tangentes à une parabole issues d’un point6 ptsDifficulté 3 sur 3

Approfondissement

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Pour aller plus loin : dérivée d’un produit et de $x^n$ , valeur absolue en $0$ , tangentes à l’hyperbole, tangentes communes, racine carrée en $0$ , racine double, dérivée symétrique

7 exercicesniveau Difficulté 3 sur 3durée conseillée : 2 h 30calculatrice autorisée (exercice 7)

Démonstration : dérivée d’un produit, puis de $x^n$ Difficulté 3 sur 3
La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en $0$ Difficulté 3 sur 3
Les tangentes à l’hyperboleDifficulté 3 sur 3
Tangentes communes à deux parabolesDifficulté 3 sur 3
La racine carrée, et $x\sqrt{x}$ en $0$ Difficulté 3 sur 3
Racine double et tangenteDifficulté 3 sur 3
Une meilleure approximation du nombre dérivéDifficulté 3 sur 3

Type épreuve anticipée

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Partie 1 : douze questions d’automatismes — Partie 2 : une fonction avec racine carrée, coût moyen d’une chocolaterie, pliages successifs

Durée : 2 hsans calculatriceQCM et 3 exercicesbarème sur 20

Questionnaire à choix multiples6 ptsDifficulté 1 sur 3
Une fonction avec une racine carrée5 ptsDifficulté 2 sur 3
Le coût moyen d’une chocolaterie5 ptsDifficulté 2 sur 3
Pliages successifs4 ptsDifficulté 2 sur 3