Mouvement d’un système : cours de Première et exercices

1Décrire le mouvement d’un système

Définition. Le système étudié est modélisé par un point, en général son centre ; son mouvement n’a de sens que dans un référentiel choisi (terrestre, géocentrique, héliocentrique), où la trajectoire est l’ensemble de ses positions successives. Sur une chronophotographie, les positions $\mathrm{M}_0,\mathrm{M}_1,\ldots$ sont enregistrées à intervalles de temps égaux $\tau$ : $\mathrm{M}_i$ correspond à la date $t_i=i\,\tau$ .

Définition. Le vecteur vitesse $\vv{v}_i$ à la date $t_i$ est tangent à la trajectoire en $\mathrm{M}_i$ , orienté dans le sens du mouvement, et sa valeur (en ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ ) se calcule à partir des positions voisines :

v_i\approx\frac{\mathrm{M}_{i-1}\mathrm{M}_{i+1}}{2\,\tau}\quad\text{(valeur « centrée », la plus précise)}\qquad\text{ou}\qquad v_i\approx\frac{\mathrm{M}_{i}\mathrm{M}_{i+1}}{\tau}.

Méthode — représenter un vecteur vitesse. tracer la flèche à partir de $\mathrm{M}_i$ , avec une échelle des vitesses annoncée ( ${1\,\mathrm{cm}}\leftrightarrow{0{,}20\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ par exemple) ; convertir d’abord les longueurs de la figure en distances réelles.

2Le vecteur variation de vitesse

Définition. Entre deux dates voisines $t$ et $t'$ , le vecteur variation de vitesse est

\Delta\vv{v}=\vv{v}(t')-\vv{v}(t),\qquad\text{par exemple}\quad \Delta\vv{v}_i=\vv{v}_{i+1}-\vv{v}_{i-1}\ (\Delta t=2\tau)\quad\text{ou}\quad \Delta\vv{v}_i=\vv{v}_{i+1}-\vv{v}_{i}\ (\Delta t=\tau).

Méthode — construire $\Delta\vv{v}$ . reporter les deux vecteurs vitesse à partir d’un même point ; $\Delta\vv{v}$ est le vecteur qui joint l’extrémité de $\vv{v}(t)$ à l’extrémité de $\vv{v}(t')$ . Sa valeur $\Delta v$ se mesure ensuite avec l’échelle des vitesses.

Figure 1 — a. Construction de $\Delta\vv{v}$ . b. Mouvement circulaire uniforme : $\vv{v}_2$ et $\vv{v}_4$ ont la même valeur, et le vecteur $\Delta\vv{v}=\vv{v}_4-\vv{v}_2$ , construit en $\mathrm{M}_3$ , est dirigé vers le centre O.

3Deuxième loi de Newton : la relation approchée

Théorème. Pour un système de masse $m$ constante, entre deux dates voisines séparées de $\Delta t$ :

\boxed{\ \sum\vv{F}\approx m\,\frac{\Delta\vv{v}}{\Delta t}\ }\qquad\text{soit}\qquad \Delta\vv{v}\approx\frac{\sum\vv{F}}{m}\,\Delta t\qquad (\text{$F$ en ${\mathrm{N}}$, $m$ en ${\mathrm{kg}}$, $v$ en ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$, $t$ en ${\mathrm{s}}$}).

Propriété. L’approximation est d’autant meilleure que $\Delta t$ est petit. Le vecteur $\Delta\vv{v}$ a la même direction et le même sens que la somme des forces. On lit la relation dans les deux sens : des forces connues donnent $\Delta\vv{v}$ , une construction de $\Delta\vv{v}$ donne les caractéristiques de $\sum\vv{F}$ .

Propriété — principe d’inertie. $\sum\vv{F}=\vv{0}\iff\Delta\vv{v}=\vv{0}$ : le vecteur vitesse est constant, le mouvement est rectiligne uniforme (ou le système est au repos). À somme des forces égale, $\Delta v$ est d’autant plus petite que la masse est grande : la masse mesure l’inertie du système.

4Les mouvements de référence

FormulaireReconnaître la situation

Rectiligne uniforme : $\vv{v}$ constant, $\Delta\vv{v}=\vv{0}$ , donc $\sum\vv{F}=\vv{0}$ (forces qui se compensent).
Rectiligne accéléré : $\Delta\vv{v}$ de même sens que le mouvement ; ralenti : $\Delta\vv{v}$ de sens contraire. $\sum\vv{F}$ est colinéaire au mouvement.
Chute libre (seul le poids agit) : $\sum\vv{F}=\vv{P}=m\,\vv{g}$ , donc $\Delta\vv{v}=\vv{g}\,\Delta t$ est vertical vers le bas, de valeur $g\,\Delta t$ , indépendante de la masse ( $g={9{,}8\,\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{kg}^{-1}}$ ). C’est encore vrai pour un mouvement parabolique (projectile lancé obliquement) : $\Delta\vv{v}$ reste vertical vers le bas alors que $\vv{v}$ change de direction.
Circulaire uniforme : la valeur de la vitesse est constante mais le vecteur vitesse tourne ; $\Delta\vv{v}$ , donc $\sum\vv{F}$ , est dirigé vers le centre (figure 1b) : la force est centripète.

Méthode — avec Python. à partir des listes de coordonnées : vx[i] = (x[i+1]-x[i-1])/(2*tau) (idem vy), puis $\Delta v_x$ et $\Delta v_y$ par différence, enfin $\Delta v=\sqrt{\Delta v_x^{\,2}+\Delta v_y^{\,2}}$ .

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Calculer une vitesse sur une chronophotographie (échelles) et la représenter par une flèche.
Construire $\Delta\vv{v}$ entre deux dates voisines et déterminer sa valeur.
Déduire de $\Delta\vv{v}$ la direction, le sens et la valeur de $\sum\vv{F}$ , ou l’inverse à partir d’un inventaire des forces.
Reconnaître un mouvement uniforme, accéléré, ralenti, une chute libre, un mouvement circulaire uniforme.
Justifier le rôle de la masse (inertie) pour deux systèmes soumis aux mêmes forces.

6Exemples types

Exemplelancer vertical : prévoir la vitesse

Un caillou est lancé verticalement vers le haut à $v_0={12{,}0\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ ; il est en chute libre ( $g={9{,}8\,\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{kg}^{-1}}$ ). Alors $\Delta\vv{v}=\vv{g}\,\Delta t$ est dirigé vers le bas : pendant $\Delta t={0{,}20\,\mathrm{s}}$ , $\Delta v=9{,}8\times 0{,}20={1{,}96\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ , donc la vitesse vaut $12{,}0-1{,}96={10{,}0\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ ; le caillou s’arrête au bout de $12{,}0/9{,}8={1{,}2\,\mathrm{s}}$ . Une bille de ${25\,\mathrm{g}}$ lancée ainsi suit le même mouvement : $\Delta\vv{v}$ ne dépend pas de $m$ .

Exemplefreinage : remonter aux forces

Une voiture de $m={1\,250\,\mathrm{kg}}$ roule en ligne droite : $v_1={25{,}0\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ puis $v_2={21{,}0\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ après $\Delta t={0{,}50\,\mathrm{s}}$ . Les deux vecteurs vitesse ont même direction et même sens, donc $\Delta\vv{v}$ est opposé au mouvement et $\Delta v={4{,}0\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ . Ainsi $\sum F=m\,\Delta v/\Delta t=1250\times 4{,}0/0{,}50={1{,}0\times10^{4}\,\mathrm{N}}$ , force horizontale dirigée vers l’arrière, du même ordre que le poids $P=mg={1{,}2\times10^{4}\,\mathrm{N}}$ . Chargée à ${1\,500\,\mathrm{kg}}$ et freinant avec la même force, elle ne perdrait que $\Delta v={3{,}3\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ : elle s’arrête moins vite.

Exemplemanège : mouvement circulaire uniforme

Une nacelle de masse $m={240\,\mathrm{kg}}$ décrit un cercle de rayon $R={5{,}0\,\mathrm{m}}$ et repasse au même point toutes les $T={12\,\mathrm{s}}$ : $v=\dfrac{2\pi R}{T}={2{,}6\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ . On compare $\vv{v}_2$ et $\vv{v}_4$ , séparées de $\Delta t={2{,}0\,\mathrm{s}}$ ; les positions étant espacées de ${30^{\circ}}$ , les deux vecteurs font un angle de ${60^{\circ}}$ : le triangle de construction est équilatéral, $\Delta v=v={2{,}6\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ , dirigé vers O. D’où $\sum F=240\times 2{,}6/2{,}0={3{,}1\times10^{2}\,\mathrm{N}}$ , force centripète exercée par le bras du manège.

Pièges

Confondre $\Delta\vv{v}$ et $\vv{v}$ : $\Delta\vv{v}$ n’est pas tangent à la trajectoire ; sa direction est celle de $\sum\vv{F}$ .
Écrire $\Delta v=v_{i+1}-v_{i-1}$ (différence des valeurs) dans un mouvement courbe : on soustrait les vecteurs. En mouvement circulaire uniforme, les valeurs sont égales mais $\Delta\vv{v}\neq\vv{0}$ .
Diviser par $\tau$ au lieu de $\Delta t=2\tau$ quand $\Delta\vv{v}_i=\vv{v}_{i+1}-\vv{v}_{i-1}$ , ou oublier l’échelle des longueurs.
Croire qu’un corps lourd tombe plus vite : en chute libre, $\Delta\vv{v}=\vv{g}\,\Delta t$ ne dépend pas de la masse.

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Mouvement d’un système

1Décrire le mouvement d’un système

2Le vecteur variation de vitesse

3Deuxième loi de Newton : la relation approchée

4Les mouvements de référence

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Devoir bilan

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