Énergie mécanique : cours de Première et exercices

1Énergie cinétique

Définition. Un système de masse $m$ (en ${\mathrm{kg}}$ ) dont le centre a une vitesse de valeur $v$ (en ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ ) possède l’énergie cinétique

E_c=\frac{1}{2}\,m\,v^{2}\qquad\text{(en ${\mathrm{J}}$)}.

Remarque. $E_c$ est toujours positive et varie comme le carré de la vitesse : doubler $v$ quadruple $E_c$ . Conversion indispensable : ${1\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}=\dfrac{1}{3{,}6}\,{\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ .

2Travail d’une force constante

Définition. Le travail d’une force constante $\vv{F}$ lors d’un déplacement rectiligne de A à B est le produit scalaire

W_{\mathrm{AB}}(\vv{F})=\vv{F}\cdot\vect{AB}=F\times \mathrm{AB}\times\cos\alpha\qquad\text{(en ${\mathrm{J}}$)},

où $\alpha$ est l’angle entre $\vv{F}$ et le déplacement $\vect{AB}$ . C’est l’énergie transférée au système par cette force.

Propriété. Le travail est moteur si $W>0$ ( $\alpha<{90^{\circ}}$ : la force favorise le mouvement), résistant si $W<0$ ( $\alpha>{90^{\circ}}$ ), et nul si $\vv{F}\perp\vect{AB}$ ( $\alpha={90^{\circ}}$ ) — c’est le cas de la réaction normale d’un support ou de la tension d’un fil de pendule.

Propriété — travail du poids. Avec un axe $(Oz)$ vertical orienté vers le haut :

W_{\mathrm{AB}}(\vv{P})=m\,g\,(z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}}),\qquad g={9{,}8\,\mathrm{N}{\cdot}\mathrm{kg}^{-1}}.

Il est moteur à la descente, résistant à la montée, et ne dépend pas du chemin suivi mais seulement de la dénivellation : le poids est une force conservative.

Figure 1 — $W_{\mathrm{AB}}(\vv{F})=F\times\mathrm{AB}\times\cos\alpha$ .

3Théorème de l’énergie cinétique

Théorème. Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique d’un système entre A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces qui s’exercent sur lui :

\Delta E_c=E_c(\mathrm{B})-E_c(\mathrm{A})=\frac{1}{2}m\,v_{\mathrm{B}}^{2}-\frac{1}{2}m\,v_{\mathrm{A}}^{2}=\sum W_{\mathrm{AB}}(\vv{F}).

Méthode — appliquer le théorème. définir le système et le référentiel, choisir les points A et B, faire l’inventaire des forces, calculer le travail de chacune (celles perpendiculaires au déplacement sont nulles), puis résoudre en $v$ ou en distance.

4Énergie potentielle et énergie mécanique

Définition. L’énergie potentielle de pesanteur d’un système d’altitude $z$ est $E_{pp}=m\,g\,z$ , définie à partir d’une origine choisie ( $E_{pp}=0$ en $z=0$ ). Le travail du poids en est l’opposé de la variation : $W_{\mathrm{AB}}(\vv{P})=-\Delta E_{pp}$ .

Définition. L’énergie mécanique du système est $E_m=E_c+E_{pp}$ .

Théorème. Entre A et B, $\Delta E_m=W_{\mathrm{AB}}(\text{forces non conservatives})$ : frottements, force motrice, action d’un opérateur. En particulier, si ces forces sont absentes ou ne travaillent pas, l’énergie mécanique se conserve :

E_m(\mathrm{A})=E_m(\mathrm{B})\qquad\text{soit}\qquad \frac{1}{2}m\,v_{\mathrm{A}}^{2}+m\,g\,z_{\mathrm{A}}=\frac{1}{2}m\,v_{\mathrm{B}}^{2}+m\,g\,z_{\mathrm{B}}.

Des frottements donnent $\Delta E_m<0$ : l’énergie mécanique perdue est transférée au milieu extérieur sous forme thermique.

Remarque. Graphiquement, en l’absence de frottements, les courbes $E_c$ et $E_{pp}$ se déduisent l’une de l’autre par symétrie par rapport à la droite horizontale d’ordonnée $E_m/2$ , et leur somme $E_m$ est constante ; des frottements font décroître $E_m$ .

FormulaireLes relations du chapitre

$E_c=\frac12 m v^{2}$ • $E_{pp}=m\,g\,z$ • $E_m=E_c+E_{pp}$ (toutes en ${\mathrm{J}}$ ).
$W_{\mathrm{AB}}(\vv{F})=F\times\mathrm{AB}\times\cos\alpha$ • $W_{\mathrm{AB}}(\vv{P})=m\,g\,(z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}})$ .
$\Delta E_c=\sum W_{\mathrm{AB}}(\vv{F})$ • $\Delta E_m=W_{\mathrm{AB}}(\text{forces non conservatives})$ .
Chute libre ou glissement sans frottement depuis le repos : $v=\sqrt{2\,g\,h}$ ( $h$ : dénivellation, indépendant de la masse et du chemin).

5Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Calculer une énergie cinétique, une énergie potentielle, une énergie mécanique (unités, conversions de vitesse).
Calculer le travail d’une force constante et du poids ; dire s’il est moteur, résistant ou nul.
Appliquer le théorème de l’énergie cinétique : vitesse atteinte, distance de freinage, hauteur maximale.
Exploiter la conservation de $E_m$ (chute, pendule, toboggan, saut) et repérer les conversions entre $E_c$ et $E_{pp}$ .
Déterminer, à partir de $\Delta E_m$ , le travail des frottements puis l’intensité de la force de frottement.
Exploiter un bilan énergétique tabulé ou calculé avec Python (listes de $z$ , $v$ , $E_c$ , $E_{pp}$ , $E_m$ ).

6Exemples types

Exempledistance de freinage

Une voiture de $m={1\,200\,\mathrm{kg}}$ roule à $v={90\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}={25\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ sur une route horizontale ; les freins exercent une force opposée au mouvement d’intensité $f={6{,}0\times10^{3}\,\mathrm{N}}$ . Le poids et la réaction normale ne travaillent pas, donc $0-\frac12 m v^{2}=-f\times d$ , soit $d=\dfrac{m\,v^{2}}{2f}=\dfrac{1200\times 25^{2}}{2\times 6{,}0\times 10^{3}}={63\,\mathrm{m}}$ . À ${180\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}$ , la distance est quadruplée ( ${250\,\mathrm{m}}$ ).

Exempleconservation de l’énergie mécanique

Un enfant part sans vitesse du haut d’un toboggan de hauteur $h={3{,}0\,\mathrm{m}}$ ; les frottements sont négligés et la réaction du support ne travaille pas. Alors $E_m$ se conserve : $m\,g\,h=\frac12 m v^{2}$ , d’où $v=\sqrt{2\,g\,h}=\sqrt{2\times 9{,}8\times 3{,}0}={7{,}7\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ , quelles que soient sa masse et la forme du toboggan.

Exempleforce de frottement

Le même enfant, de masse $m={30\,\mathrm{kg}}$ , arrive en réalité à $v={6{,}0\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ au bas du toboggan, long de $L={5{,}0\,\mathrm{m}}$ . Alors $\Delta E_m=\frac12\times 30\times 6{,}0^{2}-30\times 9{,}8\times 3{,}0=540-882={-3{,}4\times10^{2}\,\mathrm{J}}$ : c’est le travail des frottements. En supposant la force de frottement d’intensité constante et toujours opposée au mouvement, $W=-f\times L$ , d’où $f=\dfrac{\abs{\Delta E_m}}{L}=\dfrac{342}{5{,}0}={68\,\mathrm{N}}$ .

Pièges

Oublier de convertir les ${\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}$ en ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ avant d’élever au carré, ou écrire $E_c=\frac12 (mv)^{2}$ .
Compter le travail d’une force perpendiculaire au déplacement : il est nul (réaction normale, tension d’un fil).
Écrire $W(\vv{P})=m\,g\,h$ sans se soucier du signe : $W(\vv{P})=m\,g\,(z_{\mathrm{A}}-z_{\mathrm{B}})$ est négatif à la montée.
Utiliser la conservation de $E_m$ alors qu’il y a des frottements : dans ce cas $\Delta E_m=W(\text{frottements})<0$ .
Oublier de préciser l’origine des altitudes : $E_{pp}$ n’a de valeur que par rapport à un niveau de référence choisi.

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Énergie mécanique

1Énergie cinétique

2Travail d’une force constante

3Théorème de l’énergie cinétique

4Énergie potentielle et énergie mécanique

5Savoir-faire du chapitre

6Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Devoir bilan

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