Décrire un mouvement : cours de Seconde et exercices

1Système, référentiel, relativité du mouvement

Définition. Le système est l’objet dont on étudie le mouvement. On le modélise le plus souvent par un point, son centre, dont on suit les positions successives.

Définition. Le référentiel est l’objet par rapport auquel on décrit le mouvement ; on lui associe une horloge. Référentiels usuels : terrestre (le sol), géocentrique (centre de la Terre), héliocentrique (centre du Soleil).

Propriété — relativité du mouvement. La trajectoire et la vitesse d’un même système dépendent du référentiel choisi. Décrire un mouvement sans préciser le référentiel n’a donc aucun sens.

Remarque. On choisit aussi une échelle de longueur et une échelle de durée adaptées : on n’étudie pas le mouvement d’une planète et celui d’une bille avec les mêmes unités.

2Trajectoire

Définition. La trajectoire est l’ensemble des positions successives occupées par le point étudié, dans le référentiel choisi. Elle est rectiligne (une droite), circulaire (un cercle ou un arc de cercle) ou curviligne (une courbe quelconque).

3Vitesse moyenne

Définition. La vitesse moyenne d’un système qui parcourt la distance $d$ pendant la durée $\Delta t$ est

v=\frac{d}{\Delta t}\qquad\text{avec } d \text{ en ${\mathrm{m}}$,}\ \Delta t \text{ en ${\mathrm{s}}$,}\ v \text{ en ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$.}

Notation. ${1\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}={3{,}6\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}$ : pour passer des ${\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}$ aux ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ , on divise par $3{,}6$ ; dans l’autre sens, on multiplie par $3{,}6$ .

4Vecteur déplacement et vecteur vitesse

Définition. Sur une chronophotographie, les positions $\mathrm{M}_0$ , $\mathrm{M}_1$ , $\mathrm{M}_2$ , … sont enregistrées à intervalles de temps égaux, de durée $\tau$ .

Définition. Le vecteur déplacement entre deux positions successives est $\vect{\mathrm{M}_i\mathrm{M}_{i+1}}$ : il part de $\mathrm{M}_i$ et arrive en $\mathrm{M}_{i+1}$ .

Définition. Le vecteur vitesse moyenne entre $\mathrm{M}_i$ et $\mathrm{M}_{i+1}$ est $\vect{\mathrm{M}_i\mathrm{M}_{i+1}}/\tau$ ; pour $\tau$ petit, il approche le vecteur vitesse au point $\mathrm{M}_i$ :

\vv{v}_i\approx\frac{\vect{\mathrm{M}_i\mathrm{M}_{i+1}}}{\tau}.

Caractéristiques : origine $\mathrm{M}_i$ ; direction celle de $\vect{\mathrm{M}_i\mathrm{M}_{i+1}}$ (pratiquement tangente à la trajectoire) ; sens du mouvement ; valeur $v_i=\mathrm{M}_i\mathrm{M}_{i+1}/\tau$ , en ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ .

Figure 1 — Mouvement curviligne accéléré. $\vv{v}_2$ a la direction et le sens de $\vect{\mathrm{M}_2\mathrm{M}_3}$ ; sa longueur dépend de l’échelle des vitesses.

Méthode — tracer un vecteur vitesse. mesurer $\mathrm{M}_i\mathrm{M}_{i+1}$ sur le document, la convertir en distance réelle grâce à l’échelle des longueurs, diviser par $\tau$ pour obtenir $v_i$ , puis tracer la flèche depuis $\mathrm{M}_i$ en utilisant l’échelle des vitesses (par exemple ${1\,\mathrm{cm}}$ pour ${2\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ ).

5Nature du mouvement

Définition. Un mouvement est uniforme si la valeur de la vitesse reste constante, accéléré si elle augmente, ralenti (ou décéléré) si elle diminue. Sur une chronophotographie prise à intervalles égaux, les positions sont respectivement équidistantes, de plus en plus espacées, de plus en plus resserrées.

Propriété. Le vecteur vitesse varie dès que sa valeur change ou que sa direction change. Ainsi, dans un mouvement circulaire uniforme, la valeur de la vitesse est constante mais sa direction tourne : le vecteur vitesse varie. Seuls le mouvement rectiligne uniforme et l’immobilité (vecteur vitesse nul) ont un vecteur vitesse qui ne varie pas.

FormulaireLe formulaire du chapitre

Vitesse moyenne : $v=\dfrac{d}{\Delta t}$ , d’où $d=v\times\Delta t$ et $\Delta t=\dfrac{d}{v}$ ( $d$ en ${\mathrm{m}}$ , $\Delta t$ en ${\mathrm{s}}$ , $v$ en ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ ).
Conversion : ${1\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}={3{,}6\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}$ • ${\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}$ $\xrightarrow{\ \div\,3{,}6\ }$ ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ • ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ $\xrightarrow{\ \times\,3{,}6\ }$ ${\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}$ .
Vecteur vitesse : $\vv{v}_i\approx\dfrac{\vect{\mathrm{M}_i\mathrm{M}_{i+1}}}{\tau}$ , de valeur $v_i=\dfrac{\mathrm{M}_i\mathrm{M}_{i+1}}{\tau}$ (distance réelle, pas la distance mesurée sur le document).

DonnéesQuelques ordres de grandeur de vitesses

Marche ${5\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}$ $\approx$ ${1{,}4\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ • sprinteur ${10\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ • autoroute ${130\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}$ $\approx$ ${36\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ • TGV ${320\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}$ $\approx$ ${89\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ • son dans l’air ${340\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ • Terre autour du Soleil ${30\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ • lumière ${3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ .

6Savoir-faire du chapitre

Savoir-faire

Choisir un système et un référentiel adaptés ; justifier la relativité d’un mouvement en changeant de référentiel.
Nommer une trajectoire (rectiligne, circulaire, curviligne) dans un référentiel donné.
Calculer une vitesse moyenne et convertir des ${\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}$ en ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ et inversement.
Exploiter une chronophotographie : tracer un vecteur déplacement, calculer et tracer un vecteur vitesse à l’échelle.
Reconnaître un mouvement uniforme, accéléré ou ralenti ; dire si le vecteur vitesse varie.

7Exemples types

Exemplevitesse moyenne et conversion

Un train parcourt $d={450\,\mathrm{km}}$ en $\Delta t={2{,}5\,\mathrm{h}}$ : $v=450/2{,}5={180\,\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}$ , soit $180/3{,}6={50\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ .

Exemplevecteur vitesse sur une chronophotographie

Les positions sont prises toutes les $\tau={40\,\mathrm{ms}}$ ; le document est à l’échelle $1/10$ et on mesure $\mathrm{M}_2\mathrm{M}_3={3{,}2\,\mathrm{cm}}$ sur la photo. La distance réelle vaut $10\times 3{,}2={32\,\mathrm{cm}}={0{,}32\,\mathrm{m}}$ , donc $v_2=0{,}32/0{,}040={8{,}0\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ . Avec l’échelle ${1\,\mathrm{cm}}$ pour ${2\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ , on trace en $\mathrm{M}_2$ une flèche de ${4{,}0\,\mathrm{cm}}$ , portée par la droite $(\mathrm{M}_2\mathrm{M}_3)$ et dirigée vers $\mathrm{M}_3$ .

Exemplerelativité du mouvement

Un voyageur assis dans un train qui roule en ligne droite à vitesse constante est immobile dans le référentiel du train, mais en mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel terrestre. Une valve de la roue décrit, elle, un cercle dans le référentiel du train et une courbe dans le référentiel terrestre.

Exemplenature du mouvement

Une chronophotographie en vraie grandeur (échelle $1$ ), prise toutes les $\tau={60\,\mathrm{ms}}$ , donne $\mathrm{M}_0\mathrm{M}_1={1{,}2\,\mathrm{cm}}$ , $\mathrm{M}_1\mathrm{M}_2={2{,}4\,\mathrm{cm}}$ , $\mathrm{M}_2\mathrm{M}_3={3{,}6\,\mathrm{cm}}$ , alignées. Les positions s’espacent : le mouvement est rectiligne accéléré. Valeurs : $v_0=0{,}012/0{,}060={0{,}20\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ , $v_1={0{,}40\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ , $v_2={0{,}60\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ .

Pièges

Décrire un mouvement sans indiquer le référentiel : « la valve tourne » n’a de sens que dans le référentiel du train.
Multiplier par $3{,}6$ pour convertir des ${\mathrm{km}{\cdot}\mathrm{h}^{-1}}$ en ${\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s}^{-1}}$ : c’est l’inverse, on divise.
Confondre la trajectoire (l’ensemble des positions) et le vecteur vitesse (tangent à la trajectoire en un point).
Croire qu’un mouvement circulaire uniforme a un vecteur vitesse constant : sa direction change sans cesse.
Tracer le vecteur vitesse depuis le mauvais point ou sans échelle des vitesses : sa longueur n’est pas $\mathrm{M}_i\mathrm{M}_{i+1}$ .

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Décrire un mouvement

1Système, référentiel, relativité du mouvement

2Trajectoire

3Vitesse moyenne

4Vecteur déplacement et vecteur vitesse

5Nature du mouvement

6Savoir-faire du chapitre

7Exemples types

Exercices, contrôles et sujets

Exercices de base

Exercices d'application

Contrôle A

Contrôle B

Approfondissement

Devoir bilan

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